欧易

欧易(OKX)

国内用户最喜爱的合约交易所

火币

火币(HTX )

全球知名的比特币交易所

币安

币安(Binance)

全球用户最多的交易所

这个数学问题,打一局台球就解决了

时间:2023-01-05 00:40:51 | 浏览:1005

科学无国界我们是知识的搬运工认真阅读下面的文章,并思考文末互动提出的问题,严格按照 互动:你的答案格式在评论区留言,就有机会获得由湖南科学技术出版社•原力提供的优质科普书籍《十问:霍金沉思录》一本。小时候的数学课上我们都学习过最大公因数和最

科学无国界

我们是知识的搬运工

认真阅读下面的文章,并思考文末互动提出的问题,严格按照 互动:你的答案格式在评论区留言,就有机会获得由湖南科学技术出版社•原力提供的优质科普书籍《十问:霍金沉思录》一本。

小时候的数学课上我们都学习过最大公因数和最小公倍数。而在娱乐数学中,数学台球是一种利用几何手段来确定两个自然数的最大公因数和最小公倍数的方法。这也是动态台球领域中轨迹分析的一个简单例子。

数学台球是我们平时在普通台球桌上打球的一个理想化的产物。在数学台球中,球会遵循和普通台球一样的规律弹跳,但是这时的球本身是没有质量的,因而也不会有摩擦存在。同时桌边和桌角也没有球袋来吞球,这意味着球会在球桌的侧边无限次地弹来弹去,永不停息。

数学台球的一个迷人之处,在于它提供给我们一种用于寻找两个自然数的最大公因数和最小公倍数的几何手段。如下面这个图所示这样(球从左下角出发,经多次反弹后到右下角停止),我们取自然数40和15,最后得到的最大公因数是5,最小公倍数则是120。那么这个结构的工作原理是什么呢?我们接下来就来看一看。

自然数40和15的最大公因数是5,最小公倍数是120

完整动画可以戳这里

基础知识

这里是一些基础概念。设想给定两个正整数a和b,两者中的任何一个都不是另一个倍数(一个是另一个的倍数这种情况比较简单,我们留给读者自己证明)。对于台球桌,我们采用一个长宽为a和b的矩形。我们从桌子的一角同侧边成45°把球击出,台球从桌子侧边弹来弹去,在这过程中速度不会减弱减小,并且根据反射定律,台球每次到达一个侧边时都会以45°反射(这样一来路径只会向左或向右转90°)。台球的路径就由这些线段组成。

我们可以断定,在这样一组路径之后,球最终会击中另一个角。而球击中这个角落之前所经过的路径长度除以,就是a和b的最小公倍数;如果我们把台球桌分解成一个一个单位方块(即边长为1的正方形),最小公倍数就等于台球走过的路径上单位方块的数目。

我们同时还能断定,整个路径一定会出现相交点。在起点不远处就会出现一个相交点。两个给定自然数的最大公因数就等于从起点到最近的相交点的距离除以。它还等于从起点到第一个自交点的路径穿过的单位方块数。

镜像的台球

在镜中观察一个物体时,你会觉得这个物体就在镜子后面。值得注意的是,这时有三个点是对齐的:标记位置的点在镜子上看到物体的反射点以及你“看到”的镜中的虚点。为了证明我们上面的几个推断,我们将利用这个简单的想法,把台球桌的侧边看成镜面。

我们把a和b的最小公倍数写作 ,它是同时是a和b的倍数的最小的自然数。再给出某些正整数m和n,我们可以把写出 。举个例子,对于和,然后我们可以写出来

在这里m=3,n=2。

这里给定的两个数字a和b,其中哪一个都不是另一个的倍数,我们先做一个边长为 的正方形。它可以分解成 个长宽为a和b的长方形。显然这是因为m个a相加,和n个b相加都等于 。因为 是a和b的最小公倍数,我们的正方形是用长宽为a和b的长方形能铺满的最小的正方形了。我们把这些长方形中左下角的记作R,右上角的记作S(如下图所示)。

在这个例子中a=4,b=6,最小公倍数就是3x4=2x6=12,所以这个正方形的边长是12,里面包含了3x2=6个长方形。

现在我们从左下角开始,到右上角结束,画出这个正方形的对角线d。

从d中我们要画一条曲折的路径t,通过重复反射之后,它整个都落在长方形R中。路径t就是数学台球在长方形R内移动的路径。

我们从右上角的S开始,沿同对角线d相交的侧边做一个镜像,在我们这个例子中,这条侧边也是长方形S下方的长方形的侧边,我们把那个长方形记作S’。

沿S的底边做一个镜面反射,把部分对角线反射到下面的长方形中去

现在把S’沿与d交叉的边再次反射(在我们的例子中,是沿S’的左边,注意不是往上反射回S)。

把S’反射到左边

一直这样操作下去,不停把长方形沿与d交叉的侧边进行反射,直到最终到达左下角的长方形R里。这样重复的反射之后,我们就由对角线d得到了曲折路径t。

最后的反射就得到了在长方形R内部的路径t。

路径t就是从R的左下角射出的球在R的侧边成45°反射之后得到的路径。从下图可以更清楚地看到。(动画可以戳这里)

为了证明确实如此,我们先回想一下,球每次和侧边撞击之后,都会向左或者向右转90°弯。可以看到路径t确实是这样。从下面的图里也很好解释这一点。

路径t每次碰上R的侧边都会转90°弯。

因为路径t是S的不断沿长方形的侧边反射得到的,t的终点也是S的右上角顶点不断反射得到的,所以t的终点也是R的一个顶点

路径t的长度则是等于对角线d。因为任意正方形的对角线长度都等于边长的倍(这一点来自于毕达哥拉斯定理),所以有:

是路径t的长度。重新组合一下,我们有:

这就是我们想要证明的结论:球的路径长度除以,就是a和b的最小公倍数

对于我们所举的例子而言,这个方法很完美,但是我们能保证它对任意值的a和b(它们彼此不是对方的倍数)都成立吗?唯一可能出错的地方在于,对角线d在正方形内部就经过了一个长方形的某一个顶点,这样的话,我们就无法确定哪一边能反射到角上了。

我们接下来证明这一点是不可能发生的。我们很容易知道,对角线上的任何一点P都能确定一个正方形:只要垂直向下、水平向左画直线与原正方形相交就可以了。

对角线上的任何一点都能确定一个正方形。

如果这样一个点也正好是某一个长方形的顶点,那么我们这个小正方形就应该能够被长宽为a和b的长方形铺满——但这是不可能的,正如我们之前所说,边长为 的正方形已经是能够被铺满的最小正方形了。

我们已经说明了 等于路径t的长度除以,接下来我们来看看单位方块。

路径穿过的方块

要数一下路径t穿过的单位方块(即边长为1的正方形)的个数,我们要先把长方形R画成坐标系统的形式。横轴和纵轴如下图所示,单位方块的顶点的坐标都是整数。

长方形R和它构成的坐标系统。其中路径t经过的单位方块的顶点的坐标用红色标出。

很明显如果t穿过了一个单位方块,它同时会沿着其对角线运动。我们还可以看到,如果一个单位方块的顶点落在了路径t上,它的横纵坐标加起来等于一个偶数。任何一个单位方块都只有两个这样的顶点,它们位于一条对角线的两端,所以,t只能经过单位方块的两条对角线中的一条。

路径t同时也不可能两次经过单位方块的对角线,无论是两次方向相同还是两次方向相反。这一点我们留给读者自己证明。读者需要证明t的终点不同于它的起点。这样的话,m和n中至少有一个是偶数,同时要注意t的终点是由S的右上角的顶点不断反射而成的。

我们现在知道,路径t不会穿过某个单位方块超过一次,同时它总是沿着单位方块的对角线方向。因为单位方块的对角线长度是,t经过的单位方块的个数就是:

这和我们之前的推断一致。

最大公因数

我们之前断言说,a和b的最大公因数 是从起点到最近的自交点的距离除以,也等于从起点到第一个自交点的路径穿过的单位方块数。

我们先假设 ,这样的话a和b的最小公倍数等于二者的乘积 (这一点读者可以自己证明)。根据我们之前的结果,那路径穿过的单位方块的个数也是 。因为长方形的长宽是a和b,那它内部就一共有 个单位方块。而因为路径不会穿过任何一个单位方块超过一次,那么路径就必须穿过了所有单位方块。

在这个例子中a=3,b=8,最大公因数是1,最小公倍数是24。

我们已经知道,落在路径t上的单位方块的顶点的横纵坐标相加都等于偶数。反过来,路径t经过了每一个单位方块,意味着每一个坐标和为偶数的顶点都落在了t上。

这意味着(0,0) 、(0,2) 、(2,0) 和(2,2)这些点都在t上。而这只有当(1,1)是t的一个自交点时才成立。

因而(1,1)是t和自身相交得到的一个交点,它也是沿着t离(0,0)最近的点。(1,1)到(0,0)的距离是,除以就得到了1,即上面例子中a和b的最大公因数。从(0,0)到(1,1)沿t穿过的单位方块的数目也是1。这就证明了在这个例子中我们的推断。

如果 ,我们可以通过一个因子 来重新调整整个坐标的标度:把a和b除以它们的最大公因数 ,我们会得到两个最大公因数为1的正整数。这时再重复上面的构造,然后再把横纵坐标轴乘以 ,把整个坐标系统放大。单位方块就变成边长为 的正方形。所有和具体长度值无关的几何性质(比如路径形状,经过的顶点等等)都不会受坐标缩放的影响

在这个例子中a=9,b=24,最大公因数是3。除以3之后我们得到3和8,和我们举的例子一样。把前面的例子中的情况扩大3倍,就得到了新的图像,单位方块就变成了边长9的正方形。

路径第一段中离起点最近的自交点,距离起点的长度是 ,从而 是等于从起点到第一个自交点的路径穿过的单位方块数。

作者:Antonella Perucca

翻译:Dannis

审校:Nothing

原文链接:

https://plus.maths.org/content/arithmetic-billiards-0

https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_billiards

tian

tian

xiang

shang

今天我们将送出由湖南科学技术出版社•原力提供的优质科普书籍《十问:霍金沉思录》。

物理学家史蒂芬·霍金最后的著作《十问:霍金沉思录》,这本书涉及他对科学与社会所面临的大问题的思考,包括“人类是否会一直在地球上生存下去?”“时间旅行是否可能?”等;还有对诸如地球面临的严重威胁、“超人”种群以及外太空是否存在智慧生命、人类是否应该去开拓太空殖民地等问题进行的最后预测,这些预测饱含了霍金对人类未来深深的忧思。

如霍金所说,“有朝一日,我希望我们能够知道所有这些大问题的答案。”而这本漂亮的小书,是天空中一颗新星最后的闪光。

【互动问题:你还知道有哪些用很巧妙的方法解决或者处理的数学问题或物理问题?】

请大家严格按照互动:问题答案的格式在读者讨论区(不用在评论区啦)留言参与互动,格式不符合要求者无效。

为了保证更多的朋友能够参与获奖,过往四期内获过奖的朋友不能再获得奖品,名次会依次顺延

*本活动仅限于微信平台

编辑:Dannis

相关资讯

奥霖体育台球桌一站式解决台球俱乐部问题

近年来,随着人们生活水平的提升,体育休闲活动越来越多的得到了普及,其中台球运动作为一项在国际上广泛流行的高雅室内体育运动,更是被大家熟知并青睐,已经演变成全民休闲运动之一,市场在不断的扩大。据国家体育局公布的市场调查报告显示,我国现有500

海康威视网络摄像机图像模糊的解决办法海康客服高频问题解决方案

海康威视网络摄像机在使用过程中遇到视频图像模糊的问题,该怎么解决呢?如果设备还没有过保,可以将设备送售后中心处理即可。如果设备已经过保或者不方便走售后,则可以根据实际情况,选择合理的处理方式,很多时候都能解决问题。具体问题还得具体分析,监控

这个数学问题,打一局台球就解决了

科学无国界我们是知识的搬运工认真阅读下面的文章,并思考文末互动提出的问题,严格按照 互动:你的答案格式在评论区留言,就有机会获得由湖南科学技术出版社•原力提供的优质科普书籍《十问:霍金沉思录》一本。小时候的数学课上我们都学习过最大公因数和最

台球厅经营——怎样解决计费、收银漏洞的问题?

不要怕,用智能计费系统管理台球厅,做到井然有序。实现系统开台开灯自动计费,系统结账停止计费,自动关灯,从而减少了服务员的工作,提升顾客打球体验感。并且计费精确,避免人为修改时间导致收银漏洞。

全球连线|中方呼吁朝鲜半岛问题有关各方全力推动政治解决问题

来源:新华社中国常驻联合国代表张军21日在安理会审议朝鲜半岛局势时发言,呼吁有关各方坚持政治解决方向,全力推动政治解决问题。记者:毛磊、谢锷编辑:冯国芮新华社音视频部制作新华社国际传播融合平台出品

中方呼吁朝鲜半岛问题有关各方全力推动政治解决问题

新华社联合国11月21日电 中国常驻联合国代表张军21日在安理会审议朝鲜半岛局势时发言,呼吁有关各方坚持政治解决方向,全力推动政治解决问题。张军说,当前半岛局势趋紧,对抗加重,呈现螺旋式上升态势,中方对此感到关切。中方希望有关各方坚持政治解

英式台球桌美式台球桌花式台球桌的如何区分?

初学台球,很多人看台球桌外观区别很小,难以区分各种类别台球桌,南京奥霖体育着重介绍几类常见台球桌。首先了解:台球流行于世界各国,从不同的角度有不同的分类方法,可以从国度、台球的数量以及台球的击球技巧进行分类。(1)按国度分:法式台球、英式台

“国际御用级”台球桌、台球布、台球训练基地居然都“藏”在常州!

最近几天,“斯诺克”成了各路体育迷的关键词。在刚结束的斯诺克世锦赛中,丁俊晖获得亚军,成为第一个打进斯诺克世锦赛决赛亚洲选手,多少人在2个夜晚间变身丁俊晖的球迷~好啦不要再迷恋“球王”啦!离你最近的Wuli常州在台球界都牛成了“国际御用级”

谈小娱自助台球:一种新的台球厅方式,自助式台球厅

随着时间的过去,00后已经开始陆陆续续的进入了职场。正值青春年华,是该奋斗还是该躺平?在任何一代人中大多数人还是属于不甘平庸,努力奋斗的一群人。在大家都普遍认为“台球行业不景气”、“越来越少人打球”的今天一种无人自助台球厅项目,悄悄冒出头来

台球行业全案整合资讯——瞬氏台球浅谈新手开台球店常见误区

瞬氏台球在创立之初,对台球行业市场进行了一个深入的调研,也综合分析了很多创业者的创业心理,发现大多数创业者都存在以下问题:图片来源于网络第一,大而全初创者大多乐于选择开一个面积很大的门店,并且品类也做很多,囊括台球行业的很多内容,一口吃成大

为什么台球会越打越差呢?技术层面问题?还是心理上的问题?

台球为什么会越打越差主要有以下几个方面的因素。1.你并没有系统的练习过台球,基本功较为薄弱。一但有点时日不打球,再想找到感觉就很困难,而且可能会产生错误的感觉形成错误的坏习惯导致水平的下降,职业选手能长期保持状态的一个原因就是系统的练习形成

3分钟读懂7种常用净水器,解决家里饮水问题,不装修也有用

那么在居家生活中,有哪些净水设备,又该如何选择呢?今天,@家居设计师COCO带你3分钟读懂7种常用净水器,解决家里饮水问题,不装修也有用。一、净水设备的分类(1)初级过滤设备很多人在小区里旋传前置过滤器,说得天花乱坠,很多人觉得这个也不贵就

1张图详细对比6种常见净水器,解决家里饮水问题,不装修也有用

水——厨房之源。煮火锅、煲汤、煮饭都离不开水,泡茶也要用水,我们没必要像《红楼梦》里的妙玉那么讲究,用雨水、雪水、井水泡不同的茶叶,也要注意用水安全。虽然现在自来水比早年已经干净多了,但生活水平的提高,不正是包含饮水在内的、各个方面品质提高

不插电的净水机,解决小家庭里的大问题

随着水污染问题的日益严峻以及人们生活水平的提高,净水机普及已经成为不可阻挡的趋势。至此,2013年以来四季沐歌不断加大净水投入。如今四季沐歌净水已经和太阳能、空气能一起成为四季沐歌三大主业。在2016第九届上海国际水展上,四季沐歌携家用系列

解决同业竞争问题,国星光电向佛山照明转让照明业务

佛山市国星光电股份有限公司(下称“国星光电”)将剥离照明业务,进一步聚焦LED封装器件等其他业务。5月29日中午,国星光电公告称,公司拟与佛山电器照明股份有限公司(下称“佛山照明”)出资设立一家合资公司,并将停止照明业务的产销。公告显示,合

友情链接

网址导航 SEO域名抢注宝宝起名网妈妈知道币圈凡拓数创股票水果店加盟网C罗球迷网英菲尼迪轿车网生肖鼠运势网服装设计网刘三姐故里景区文玩手串交流网古钱币网恒山旅游攻略黑貂泳镜东南电子股票华为手机评测网甘肃旅游网PS抠图网
桌球台球运动网-台球又称桌球或者弹子球,是球类运动项目之一。是运动员在台球桌上用超过91.4厘米长的球杆,通过按照一定的规则击打主球,撞击目标球使入袋的一项体育休闲项目。斯诺克台球一般指斯诺克。 斯诺克意为“阻碍、障碍”又称障碍台球,是台球比赛的一种,此项运动击球次序为一个红球、一个彩球直至红球全部落袋,然后按彩球分值由低至高的顺序也至全部离台为止。
桌球台球运动网 lixiaobei.cn ©2022-2028版权所有